Линейная алгебра Примеры

$8 x + 12 y = 36$ , $- 12 x - 18 y = - 54$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 8 & 12 & 36 \\ - 12 & - 18 & - 54 \end{array}]$

Этап 2

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{12}{8} & \frac{36}{8} \\ - 12 & - 18 & - 54 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 12 & - 18 & - 54 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 12 + 12 \cdot 1 & - 18 + 12 (\frac{3}{2}) & - 54 + 12 (\frac{9}{2}) \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{3 y}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 y}{2} = \frac{9}{2} - x$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{2}{3} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{2}{3} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{2}{3} (- x)$

Этап 4.3.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 (3)) + \frac{2}{3} (- x)$

Этап 4.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3) + \frac{2}{3} (- x)$

Этап 4.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = 3 + \frac{2}{3} (- x)$

Этап 4.3.2.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = 3 - \frac{2 x}{3}$

Этап 4.4

Изменим порядок $3$ и $- \frac{2 x}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 3$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, - \frac{2 x}{3} + 3)$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{2 x}{3} + 3 \end{array}]$